크래머 공식 (Cramer's rule)은 선형연립방정식의 해를 행렬식 으로 표현하는 선형대수학 의 정리(theorem)이다. 이름은 가브리엘 크래머 (Gabriel Cramer) (1704 - 1752)에게서 유래한다.
방정식이 많은 경우의 실제 해의 계산에 있어서는 그리 유용하지 않지만, 피봇팅(pivoting)이 필요하지 않은 경우 작은 크기의 행렬에서는 가우스 소거법보다 훨씬 효율적이다. 크래머 공식은 연립방정식의 해를 외재적으로 표현하기 때문에 이론의 전개에 유용하다.
연립방정식이 다음과 같은 행렬 간의 곱으로 표현될 때.
A x = c
식에서 정사각행렬 (square matrix) A 는 역행렬을 갖고, 벡터 x 는 ( x i ) 를, 벡터 c 는 ( c i ) 를 성분으로 갖는 열벡터이다.
정리는 다음과 같다.
식에서 A i 는 A 의 i 번째 열을 열벡터 c 로 대체한 행렬을 말한다.
예 [ 편집 ]
2x2 행렬에서 공식을 적용해 보면,
주어진 연립방정식이 다음과 같을 때,
a x + b y = e
c x + d y = f ,
이 식은
로 쓸 수 있으며, 공식을 적용하면,
이 된다.
미분기하학에 적용 [ 편집 ]
크래머 공식은 미분기하 문제를 풀 때 매우 유용하다. 두 개의 방정식 , 이라 가정한다. 여기서, u 와 v 는 독립 변수이고, , 라 정의한다.
여기서 의 방정식을 찾는 것은 크래머 공식으로 해결할 수 있다.
첫째 , F,G,x,y 의 미분을 계산한다.
dF, dG 에 dx 와 dy 를 대입하면
u 와 v 는 독립적이므로, du 와 dv 의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
표준상태의 온ㆍ습도 허용차
댓글
댓글 쓰기