Cramer rule - 크래머 공식

크래머 공식(Cramer's rule)은 선형연립방정식의 해를 행렬식으로 표현하는 선형대수학의 정리(theorem)이다. 이름은 가브리엘 크래머(Gabriel Cramer) (1704 - 1752)에게서 유래한다.

방정식이 많은 경우의 실제 해의 계산에 있어서는 그리 유용하지 않지만, 피봇팅(pivoting)이 필요하지 않은 경우 작은 크기의 행렬에서는 가우스 소거법보다 훨씬 효율적이다. 크래머 공식은 연립방정식의 해를 외재적으로 표현하기 때문에 이론의 전개에 유용하다.

연립방정식이 다음과 같은 행렬간의 곱으로 표현될 때.

A x = c

식에서 정사각행렬(square matrix) $A$ 는 역행렬을 갖고, 벡터 $x$ 는 $(x i)$ 를, 벡터 $c$ 는 $(c i)$ 를 성분으로 갖는 열벡터이다.

정리는 다음과 같다.

$x_i = { \det(A_i) \over \det(A)}$

식에서 $A i$ 는 $A$ 의 i번째 열을 열벡터 $c$ 로 대체한 행렬을 말한다.

예 [편집]

2x2 행렬에서 공식을 적용해 보면,

주어진 연립방정식이 다음과 같을 때,

a x + b y = e

c x + d y = f

이 식은

$\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}$

로 쓸 수 있으며, 공식을 적용하면,

$x = { \begin{vmatrix}e&b\\ f&d\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}} = { ed - bf \over ad - bc}$

$y = { \begin{vmatrix}a&e\\ c&f\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}} = { af - ec \over ad - bc}$

이 된다.

미분기하학에 적용 [편집]

크래머 공식은 미분기하 문제를 풀 때 매우 유용하다. 두 개의 방정식 $F(x, y, u, v) = 0\,$ , $G(x, y, u, v) = 0\,$ 이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, $x = X(u, v)\,$ , $y = Y(u, v)\,$ 라 정의한다.

여기서 $\partial x/\partial u$ 의 방정식을 찾는 것은 크래머 공식으로 해결할 수 있다.

첫째, F,G,x,y의 미분을 계산한다.

$dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0$

$dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0$

$dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv$

$dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv$

dF, dG에 dx와 dy를 대입하면

$dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0$

$dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0$

u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}$

$\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}$

$\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}$

$\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}$

따라서, 크래머 공식을 적용하면 다음과 같다.

$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\begin{vmatrix} -\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ -\frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}$

이것은 두 개의 Jacobian 항이다.

$\frac{\partial x}{\partial u} = - \frac{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(y, u\right)}\right)}{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}$

유사하게 $\frac{\partial x}{\partial v}$ , $\frac{\partial y}{\partial u}$ , $\frac{\partial y}{\partial v}$ 의 공식들도 유도할 수 있다.

출처: 위키사전(크래머 공식), 수학 정리

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익명2024년 2월 19일 오후 6:23
1라디안이 360도법의 약 57.3˚ 이라는것을 알려주면 이해가 더 빠르죠.
2 X π X 1rad = 360˚ ≒ 2 X 3.14 X 57.3˚
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Taisung.Kim

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